Hai điểm này đối xứng với nhau qua ox

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left|x+yi+x-yi+2\right|+2\left|x+yi-x+yi-2i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|2x+2\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le6\)

Tập hợp z là miền trong hình thoi (gồm cả biên) với 4 đỉnh: \(A\left(-7;1\right)\) ; \(B\left(-1;4\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\) ; \(D\left(-1;-2\right)\)

\(P^2=\left|z-4-4i\right|^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2\)  có tập hợp là đường tròn (C) tâm \(I\left(4;4\right)\) bán kính \(R=P>0\) sao cho (C) và hình thoi ABCD có ít nhất 1 điểm chung

Từ hình vẽ ta thấy \(P_{max}\) khi (C) đi qua A \(\Rightarrow P=IA\) và \(P_{min}\) khi (C) tiếp xúc BC  \(\Rightarrow P=d\left(I;BC\right)\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(-11;-3\right)\Rightarrow M=IA=\sqrt{130}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtpt

Phương trình BC: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

\(\Rightarrow m=d\left(I;BC\right)=\dfrac{\left|4+2.4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}\)

\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)

\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)

\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)

\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)

Lời giải:
\(\overline{z_1}=2-4i; \overline{z_2}=-1-3i\)

\(\Rightarrow w=z_1\overline{z_2}-2\overline{z_1}=(2+4i)(-1-3i)-2(2-4i)=6-2i\)

\(\Rightarrow |w|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=2\sqrt{10}\)

\(\overline{z_1}=2-4i\) ; \(\overline{z_2}=-1-3i\)

\(\Rightarrow w=\left(2+4i\right)\left(-1-3i\right)-2\left(2-4i\right)=6-2i\)

\(\Rightarrow\left|w\right|=\sqrt{6^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{10}\)